Polyeder nach Goldberg, Caspar und Klug

"Kugelförmige" Polyeder

Themen

Mit Hilfe einer cleveren Konstruktion kann man Polyeder bestimmen, welche der Kugelform sehr nahe kommen. Diese Polyederformen treten bei Viren häufig auf.

Diese Konstruktion wurde unabhängig von Goldberg und auch Caspar und Klug 1935 entwickelt. Das Ziel dieser Seite ist es, Ihnen die Konstruktion näher zu bringen und zu zeigen wie diese Polyeder mit einem Zahlenpaar (a/b) charakterisiert werden kann.

Konstruktion

Da von den platonischen Körpern der Ikosaeder der Kugel am nächsten kommt, beginnen wir mit seiner Grundstruktur, nämlich mit 20 gleichseitigen Dreiecken. Wir versuchen eine solche Seitenfläche in kleinere, gleichseitige Dreiecke zu verwandeln.

Wir parkettieren nun die Ebene mit gleichseitigen Dreiecken. Von einem beliebigen Punkt aus zählen wir a Dreiecke nach rechts und anschliessend b Dreiecke den Seitenlängen entlang nach oben rechts, wie dies in der Zeichnung angedeutet wird.

Goldberg Konstruktion

Es lässt sich leicht berechnen, dass die Seitenlänge des roten Ikosaederdreieckes T aus a und b bestimmbar ist. Es gilt:

T = a^2 + ab + b^2

Nun konstruiert man sich aus diesem Ikosaederdreieck einem Ikosaeder, wobei jetzt die kleinen Dreiecke berücksichtigt werden.

Beim Zusammenkleben dieser Flächen entstehen 12 Fünfecke und Dreiecke respektive Sechsecke (durch Zusammenfassen je 6 gleichseitiger Dreiecke). Für den so entstandenen Polyeder gilt:

Buckyball

Die Anzahl Ecken (10T+2)ist für die Struktur der Viren von Bedeutung. Sie gibt an, aus wie vielen identischen Proteinmolekülen die Virushülle aufgebaut ist.

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Aufträge:

  • Die ganze Konstruktion führte Goldberg auch mit einem Tetraeder und einem Oktaeder durch. Dies liefert ähnliche Gebilde. Überlegen Sie sich, warum er nur gerade diese drei platonischen Körper benutzt hat und nicht auch den Hexaeder und Dodekaeder?
  • Bauen Sie ein Modell eines Virus. Suchen sie dazu aus der Datenbank ein Beispiel für einen Virus mit einem einfachen Goldbergpolyeder. Unter den Vorlagen finden Sie einige Anleitungen für Polyeder.

Spiel,Satz und Sieg für Mathematik

"Bau dir deinen eigenen Virus", Ian Stewart, Birkhäuser, Basel, 1992

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