Der Eulersche Polyedersatz

Polyedersatz

Der Basler Mathematiker Leonard Euler (15.4.1707 - 18.9.1783) untersuchte die Struktur von Polyedern auf eine ganz neue Art. Es interessierten Ihn weniger die klassischen geometrischen Grössen wie Fläche, Längen und Schnittwinkel, sondern die Struktur der Polyeder an sich. Dieser mathematische Satz ist einer der ersten "topologischen" Sätz der Mathematik. In der Topologie beschäftigt man sich um die allgemeine Struktur eines geometrischen Objektes, ohne Rücksicht auf Abstände und Winkel.

Seine Entdeckung, der Polyedersatz von Euler, beschreibt die allgemeine, topologische Struktur aller möglichen konvexen Polyeder. Dabei bedeutet konvex, dass die Polyeder keine Löcher oder Einbuchtungen haben.

Der Eulersche Polyedersatz

Seien E die Anzahl der Ecken, F die Anzahl der Flächen und K die Anzahl der Kanten eines konvexen Polyeders, dann gilt:

Dies bedeutet , dass dieser Term aus Eckenzahl, Kantenzahl und Anzahl der Flächen für jeden konvexen Polyeder 2 ergibt.

Folgerungen

Gibt man die Art der Seitenflächen vor, so wird die Anzahl der Flächen über den Eulerschen Polyedersatz beschränkt oder gar bestimmt.

Beweis

Einen Beweis können Sie hier nachlesen.

Aufträge:

  • Informieren Sie sich, was "Topologie" für ein Gebiet ist.
  • Bauen Sie die platonischen Körper als Papiermodell nach. Unter den Vorlagen finden Sie einige Anleitungen.
  • Suchen Sie im Internet ein Beispiel eines nicht konvexen Polyeders, für welchen der Eulersche Polyedersatz nicht in dieser Form stimmt.
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