Graphische Iterationen
Ein Cobweb-Diagramm ist eine Methode um eine Iteration graphisch darzustellen. Zu diesem Zweck werden die Iterationsfunktion, in unserem Falle blau, und die Identitätsfunktion y=x , in unserem Falle schwarz, eingezeichnet.
Man beginnt auf der x-Achse. Der Startwert x_0 wird eingezeichnet. Nun kann die Iteration beginnen:
- vom x-Wert vertikal bis zur Iterationsfunktion y =f(x). Dies ist der neue y-Wert.
- horizontal zur Identitätsfunktion y=x um aus dem y-Wert den neuen x-Wert zu "berechnen".
- vom x-Wert vertikal bis zur Iterationsfunktion y =f(x). Dies ist der neue y-Wert.
- horizontal zur Identitätsfunktion y=x um aus dem y-Wert den neuen x-Wert zu "berechnen".
- und so weiter ...
Verhalten des dynamischen Systems
Was passiert nun, wenn man verschiedene Startwerte einsetzt oder den Iterationsparameter ein wenig verändert? Dies kann man nun graphisch erforschen. Die Zickzack-Linie kann auf einen Punkt zusteuern. Sie kann aber auch periodisch zwischen mehreren Punkten hin und her springen.
Iteressant sind zum Beispiel die Schnittpunkte der beiden Funktionen (Iterationsfunktion und Identitätsfunktion). Diese Punkte nennt man Fixpunkte (warum?).
Aufträge:
Mit den Unterprogrammen logistische Iteration und Cobweb kann man die graphische Iterationen untersuchen.
- In welchen Fällen läuft die Zickzack-Linie auf einen Fixpunkt zu?
- Wann entfernt sie sich von Ihm?
