Fraktale Dimension

Dimensionen der anderen Art

Monster und Dimensionen

Selbstähnliche Objekte in der Mathematik sind ein relativ neues Gebiet. Dies liegt vor allem daran, dass man viele dieser Strukturen nur mit Hilfe eines Computers sichtbar machen kann.

Die Dimensionen entsprechen nicht dem normalen Sprachgebrauch einer Dimension. Sie widersprechen der Intuition. Dies liegt zum Teil daran, dass Ihre Entdeckung Hand in Hand mit der Untersuchung von mathematischen Monstern ging.

Mathematische Monster

Wo liegt das Problem? Anfangs des 20. Jahrhunderts entdeckten einige Mathematiker Kurven, welche sich sehr seltsam verhalten. Das Bild oben zeigt die Kurve welche nach David Hilbert benannt ist. Man erzeugt diese Kurve mit Hilfe eines Iterationsprozesses.

Diese Kurve (1 dimensional) geht durch jeden Punkt des Quadrates (2 dimensional)! Dieses verblüffende Resultat war der Anlass, die Definition der Dimension neu zu überdenken.

Die neue Definition der Dimension geht von der Überlegung aus, was mit einem Objekt passiert, wenn man es vergrössert. Verlängert man alle Seiten / Längen eines Objektes um den gleichen Faktor, so nimmt die Fläche um das Quadrat dieses Faktors zu. Bei einem Körper im Raum nimmt das Volumen um die dritte Potenz dieses Faktors zu.

Als fraktale Dimension definiert man nun den Exponenten, welcher bei der Streckung um einen Faktor entsteht. Dieser Exponent ist für selbstähnliche Objekte nicht mehr nur ganzzahlig.

Die fraktale Dimension bestimmt man mit Hilfe der Boxdimension.

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